प्रश्न- मध्यमान से आप क्या समझते हैं? इसके गुण-दोषों तथा उपयोग की विवेचना कीजिये।

अथवा
मध्यमान की गणना की प्रक्रिया स्पष्ट करें।

सम्बन्धित लघु उत्तरीय प्रश्न
1. मध्यमान की संक्षिप्त व्याख्या करें।
2. मध्यमान की विशेषतायें बताइये।
3. मध्यमान के गुण-दोष बताइये।
4. उदाहरण की सहायता से मध्यमान की गणना कीजिये।

उत्तर -

मध्यमान
(Mean)

मध्यमान को अंकगणितीय औसत भी कहा जाता है। अंक वितरण के समस्त अंकों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग देने पर जो मान प्राप्त होता है, उसे मध्यमान कहते हैं।

गैरेट (Garrett, 1966) के अनुसार - "विभिन्न प्राप्तांकों के योग को उनकी संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान मध्यमान कहा जाता है।'

ग्लीटमैन (Gleitman 1983) के अनुसार - " मध्यमान सभी प्राप्तांकों का अंकगणितीय औसत है।'

मध्यमान की विशेषताएँ (Characteristics of Mean)

1. दिये गये अंक वितरण का केन्द्र बिन्दु मध्यमान है।

2. मध्यमान की स्थिति को दिये गये अंक वितरण का प्रत्येक प्राप्तांक प्रभावित करता है।

3. अंक वितरण के सभी प्राप्तांकों में एक निश्चित राशि जोड़ने या घटाने से मध्यमान भी निश्चित राशि के समान घट या बढ़ जाता है।

4. मध्यमान की मानक त्रुटि मध्यांक तथा बहुलांक की अपेक्षा कम होती है।

मध्यमान के लाभ (Advantages of Mean)

1. मध्यमान की गणना सरलता एवं शीघ्रता से कर सकते हैं।
2. इसकी तुलना सरलता से कर सकते हैं।
3. मध्यमान केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप में सर्वाधिक शुद्ध मान है।
4. मध्यमान केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप में सर्वाधिक विश्वसनीय माप है।
5. मध्यमान दिये गये अंक वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं।"

मध्यमान के दोष (Demerits of Mean)

1. जब अंक वितरण असामान्य हो तो मध्यमान की अपेक्षा मध्यांक की गणना करनी चाहिये।
2. जब अंक वितरण अपूर्ण हो तब मध्यमान ज्ञात नहीं करना चाहिये।

मध्यमान के उपयोग (Uses of Mean)

1. समूह के विश्वसनीय मापन के लिये मध्यमान को प्रयुक्त करते हैं.।
2. वितरण सामान्य होने पर मध्यमान की गणना करते हैं।
3. मध्यमान का मूल्य सभी अंकों पर आधारित होता है।
4. आनुमानिक सांख्यिकी की गणना में यह एक उपयोगी माप है।

यदि आँकड़े अव्यवस्थित हों तो सभी प्राप्तांकों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग दे देते हैं। जैसे एक छात्र के पाँच विषय में क्रमश: 50, 60, 70, 40, 30 प्राप्तांक हैं तो उसका औसत प्राप्तांक निम्न सूत्र की सहायता से ज्ञात कर सकते हैं। मध्यमान के लिये M या X प्रयुक्त करते हैं।

          Σx
M = --------
           N

M = मध्यमान   Σx = प्राप्तांकों का योग

N = प्राप्तांकों की संख्या

         (50+60+70+40+30)        250
M = ------------------------- = ---------- = 50
                         5                        5

उत्तर : औसत अंक = 50

यदि आँकड़े वर्गान्तरों में वितरित हों तो मध्यमान की गणना लघु विधि तथा संक्षिप्त विधि से करते हैं।

मध्यमान की गणना की दीर्घ विधि (Long Method) -

दीर्घ विधि में मध्यमान की गणना निम्न सूत्र से कर सकते हैं -

         Σf x 
M = --------
           N 

M = मध्यमान

X = वर्गान्तर का मध्य बिन्दु

f = आवृत्तियाँ

Σfx = गुणनफलों का योग

N = कुल आवृत्तियाँ

दीर्घ विधि से मध्यमान के चरण

1. सबसे पहले वर्गान्तर का मध्य बिन्दु ज्ञात करते हैं।
2. मध्य बिन्दुओं को प्राप्तांक के रूप में अंकित करते हैं।
3. मध्य बिन्दुओं को f से गुणाकर fx ज्ञात करते हैं।
4. इसके पश्चात् गुणनफल का योग ज्ञात करते हैं।
5. विभिन्न मानों को सूत्र में रखकर मध्यमान की गणना करते हैं।

उदाहरण- एक कक्षा में 50 छात्र थे। उनकी परीक्षा ली गई। दीर्घ विधि से मध्यमान की गणना कीजिये।

दीर्घ विधि द्वारा मध्यमान की गणना

           Σf x 
M = -----------
            N 

यहाँ N = 50 तथा Σfx = 1795

M =  1795 / 50  = 35.9

मध्यमान = 35.9

लघु विधि द्वारा मध्यमान की गणना

जब आँकड़े अधिक हों तब लघु विधि द्वारा मध्यमान की गणना उपयुक्त रहती है।

लघु विधि द्वारा मध्यमान की गणना के चरण -

1. जिस वर्गान्तर की आवृत्ति अधिक हो तथा लगभग जो मध्यम में हो उसके सामने शून्य अंकित करते हैं वैसे इसके लिये अन्य वर्गान्तर भी चुन सकते हैं। परन्तु गुणा-भाग की दृष्टि से मध्य वाले वर्गान्तर को चुनना लाभकारी है।

2. मध्य में स्थित वर्गान्तर के मध्य बिन्दु को कल्पित मध्यमान मान लेते हैं।

3. कल्पित मध्यमान वाले वर्गान्तर से बड़े वर्गान्तर के सामने क्रमशः + 1 + 2 + 3. ..... और छोटे वर्गान्तरों के सामने क्रमशः - 1 - 2 - 3 अंकित करते हैं। इन्हें विचलन मूल्य कहते हैं। इसे (x) तथा d द्वारा दर्शाते हैं।

4. आवृत्ति को विचलन मूल्य से गुणा कर fx या fd मूल्य ज्ञात करते हैं।

5. धनात्मक fx तथा ऋणात्मक fx का योग अलग-अलग ज्ञात करते हैं।

6. धनात्मक तथा ऋणात्मक fx मूल्य में अन्तर ज्ञात करते हैं। इसे Σfx या Σfd कहते हैं।

7. वर्ग विस्तार ज्ञात करते हैं।

8. विभिन्न मूल्यों को सूत्र में रखकर मध्यमान की गणना करते हैं।

                Σfx 
M = AM -------- x  i
                 N 

M = मध्यमान

AM = कल्पित मध्यमान

Σfx आवृत्तियों के गुणनफल का योग

N = संख्या

i = वर्गान्तर का आकार

उदाहरण - 40 छात्रों के बुद्धि परीक्षण से निम्न प्राप्तांक प्राप्त हुये। लघु विधि द्वारा मध्यमान की गणना करें।

                  Σfx 
M = AM -------- x i   AM = 47   i=5
                  N 

               7 
M = 47  ----   x  5  = 47+(.18x5)=47+.87=47.87 
               40

उत्तर : छात्रों का औसत बुद्धि प्राप्तांक 47.87 है।

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